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Additive, subadditive und superadditive Funktionen sind mathematische Objekte. Es sind bestimmte Klassen von Funktionen. Lineare Abbildungen sind besondere additive Funktionen.

In der Zahlentheorie herrscht eine andere Definition für die additive Funktion.

• Definition

• Sub- und Superadditive Funktionen

• Beispiele

• Eigenschaften

• Definition in der Zahlentheorie

• Siehe auch

• Einzelnachweise

Eine Funktion f {\displaystyle f} heißt additiv, wenn sie die Funktionalgleichung

f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}

erfüllt.cite-ref-1[1] Sind Definitions- und Zielbereich abelsche Gruppen, so spricht man auch von Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -Linearität.

Ist M {\displaystyle M} eine Halbgruppe mit der Verknüpfung + {\displaystyle +} , so heißt eine Abbildung f : : M → → R {\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} } subadditiv, wenn für alle x {\displaystyle x} und y {\displaystyle y} aus M {\displaystyle M} gilt:cite-ref-convexfunctions-2-0[2]

f ( x + y ) ≤ ≤ f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)} .

Die Abbildung heißt superadditiv, wenn für alle x {\displaystyle x} und y {\displaystyle y} aus M {\displaystyle M} gilt:cite-ref-convexfunctions-2-1[2]

f ( x + y ) ≥ ≥ f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)\geq f(x)+f(y)} .

• Gemäß der Dreiecksungleichung sind Normen und Beträge stets subadditiv.

• Sublineare Funktionen sind subadditiv.

• Lineare Abbildungen sind additiv.

• Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist.

• Ist f {\displaystyle f} eine additive Funktion, so gilt für jede endliche Anzahl x 1 , … … , x n {\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}} von Elementen aus M {\displaystyle M} :

f ( x 1 + ⋯ ⋯ + x n ) = f ( x 1 ) + ⋯ ⋯ + f ( x n ) {\displaystyle f(x_{1}+\dotsb +x_{n})=f(x_{1})+\dotsb +f(x_{n})}

Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

Bei zahlentheoretischen Funktionen f : : N → → C {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} } betrachtet man als Verknüpfung auf N {\displaystyle \mathbb {N} } die Multiplikation. Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn die Gleichung

f ( x y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}

für alle teilerfremden x {\displaystyle x} und y ∈ ∈ N {\displaystyle y\in \mathbb {N} } gilt. Gilt dies sogar für alle x {\displaystyle x} und y {\displaystyle y} , so heißt die Funktion streng additiv.

Eine ähnliche Einschränkung der Additivität (auf disjunkte statt beliebige Vereinigungen) gibt es in der Maßtheorie.

• σ-Subadditivität

• σ-Additivität

cite-note-11. ↑ Prasanna Sahoo, Thomas Riedel: Mean Value Theorems and Functional Equations. 1998, ISBN 981-02-3544-5, S. 1 (englisch).

cite-note-convexfunctions-22. ↑ Josip E. Peajcariaac, Y. L. Tong: Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications. Academic Press, 1992, ISBN 0-12-549250-2, S. 8 (englisch).